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<html><head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8">
<meta http-equiv="Content-Language" content="fr">
<meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 4.0">
<meta name="ProgId" content="FrontPage.Editor.Document">
<meta name="description" content="L'explication de la matière par des ondes.">
<meta name="keywords" content="matière, ondes stationnaires, Michelson, Lorentz, Relativité, gravité, électron, quark, gluon, atome, lumière, champ magnétique">
<title>Le principe de Huygens.</title>
</head>
<body bgcolor="#E1E1E1">
<font face="Times New Roman" size="4">
<p align="center"><a href="matiere.htm"><img border="0" src="images/fleche_fgg.gif" width="70" height="31"></a><a href="preuves.htm"><img border="0" src="images/fleche_fg.gif" width="183" height="31"></a><a href="conclusion.htm"><img border="0" src="images/fleche_fd.gif" width="164" height="31"><img border="0" src="images/fleche_fdd.gif" width="70" height="31"></a></p>
</font>
<p align="center"><font face="Times New Roman" size="6">LE PRINCIPE
DE HUYGENS</font></p>
<font face="Times New Roman" size="4">
</font>
<p align="center"><img border="0" src="images/michelson07.gif" width="232" height="224"></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">L'angle d'inclinaison de
la lame séparatrice de l'interféromètre de Michelson doit varier selon sa vitesse.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Cet angle correspond à
la contraction proposée par Lorentz, ce qui démontre que cette explication
était correcte</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Le principe de
Huygens permet de reproduire </font><font size="4" face="Times New Roman">tous les phénomènes ondulatoires.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Ce principe n'a jamais
été pris en défaut : il se vérifie toujours, mais à la condition d'en
respecter les conditions. </font></p>
<p align="left">
<font size="4" face="Times New Roman">
<a href="sa_evolution.htm"><img border="0" src="images/americain.gif" width="60" height="40"></a>
<a href="sa_evolution.htm"><img border="0" src="images/anglais.gif" width="60" height="40"></a> Page d'accueil :
<a href="matiere.htm">La
matière est faite d'ondes.</a></font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"><b>UN OUTIL INDISPENSABLE</b></font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Puisque
la matière est faite d'ondes, le principe de Huygens deviendra
désormais un outil très utilisé en physique. Toutefois le plus
efficace sera incontestablement la méthode de modélisation d'un
milieu élastique par ordinateur mise au point par Philippe Delmotte.
À l'aide de son propre algorithme, M. Jocelyn Marcotte est déjà
parvenu reproduire mon électron mobile, ce qui
démontre que je n'avais pas tort ; et ce n'est qu'un
début.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Le principe de Huygens
peut donc maintenant être vu comme un moyen de contre-vérifier de
que ce médium virtuel révèle. C'est sans doute le principe de physique le plus mal compris. C'est
d'autant plus regrettable qu'il permet à lui seul d'évaluer la
plupart des
phénomènes ondulatoires d'une manière aussi simple que
spectaculaire. Un grand nombre
des animations qui figurent dans ces pages font appel <b><i>uniquement</i></b>
à lui.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Voici
comment Huygens a énoncé le principe qui porte son nom :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="20" cellspacing="6" width="1000">
<tr>
<td>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">« Nous pouvons
considérer que tous les points atteints en même temps par l'onde sont
les centres d'ondelettes qui se renforcent sur leur enveloppe commune :
l'onde principale. L'énergie n'est appréciable que sur celle-ci. »</font>
</td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Le principe de Huygens.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<p align="center">
<img border="0" src="images/lumiere02.gif" width="451" height="166"></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">L'onde suivante se construit à
partir des ondelettes créées sur le front de l'onde précédente.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Augustin
Fresnel a quelque peu modifié le principe de Huygens pour qu'il
corresponde à sa propre conception de la nature ondulatoire de la
lumière :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="20" cellspacing="6" width="1000">
<tr>
<td>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">« Les
vibrations d'une onde lumineuse dans chacun de ses points, peuvent être
regardées comme la résultante des mouvements élémentaires qu'y
enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes les parties
de cette onde considérée dans l'une quelconque de ses positions antérieures.
»</font></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Le principe de Fresnel.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Cette
version remaniée du principe de Huygens est en effet un peu plus
précise. Personnellement, je pense qu'il est regrettable que Fresnel
ne parle plus des célèbres ondelettes, puisqu'il apparaît
aujourd'hui que ces ondelettes existent vraiment dans le cas de la
lumière. Mais le résultat est
le même : il est évident que, toutes les parties de l'onde agissant isolément,
elles ne peuvent agir en différents points d'un espace à trois
dimensions que sous la forme d'ondelettes.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">La
vérité, c'est que <b><i>le principe de Fresnel est faux</i></b>
dans le cas de <a href="lumiere.htm">la lumière.</a> Les électrons émettent effectivement de telles
ondelettes, qui sont donc bien réelles.
Le problème, c'est qu'elles agissent à deux niveaux différents, d'une
part sur la fréquence des électrons, qui est fixe et très
élevée, et d'autre part sur la fréquence secondaire composite de la lumière
qui en résulte. C'est pourquoi il convient de préciser la manière
dont il faut appliquer le principe de Huygens.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Le
point important, c'est que les ondulations reproduites par les
électrons sous l'action de la lumière incidente sont émises en opposition de
phase. Il est donc impossible de justifier la réflexion de la
lumière sur un miroir ou celle des ondes radio sur un réflecteur
métallique plan à l'aide du principe de Huygens tel que ce dernier
l'a formulé. On sait très bien depuis longtemps que cette réflexion
s'effectue en opposition de phase. C'est typique d'une réflexion dite
"dure". Seul, le son et les ondes similaires se comportent
comme Huygens l'a prédit puisque leur réflexion sur un écran plat
est plutôt "douce" ou "molle". Il faut alors
préciser que la moitié des ondelettes est interceptée par l'écran
et que l'énergie correspondante est redistribuée dans les mêmes
ondelettes de manière à justifier à la fois l'ombre que l'écran
produit et la loi de la conservation de l'énergie.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Je
suis donc plutôt choqué de voir que personne à ce jour, du moins en
autant que j'ai pu le vérifier, ne signale ce fait capital. Les ondes
des électrons et de la matière se comportent en effet comme Huygens
l'a montré. Mais la lumière et les ondes radio, qui sont faites des
mêmes ondes, se caractérisent par des ondulations qui s'effectuent
sur une fréquence secondaire beaucoup plus basse. Elles traversent
systématiquement toute matière sans subir la moindre modification,
ce qui évite d'avoir à signaler qu'elles sont interceptées. Dans
les faits, ce sont les électrons qui sont atteints la lumière
incidente qui émettent de nouvelles ondelettes de lumière, dont les
ondulations vibrent en opposition de phase au moment de leur
émission. Cette nouvelle lumière se compose avec la lumière
incidente, et le résultat explique enfin tous les phénomènes de
couleur, de polarisation, d'ombre, d'amortissement, de réflexion, de
réfraction, de dispersion et même de transmission à travers une
substance transparente.</p>
<p align="left"><b>Les ondelettes fictives sont en phase. </b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Dans
un premier temps, il faut comprendre que la propagation des ondes
progressives simples, celles du son par exemple, se fait strictement selon les prévisions de
Huygens.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
invoque alors la présence <b><i>fictive</i></b> d'ondelettes, et
alors ces ondelettes sont <b><i>en phase</i></b> avec l'onde
principale. C'est donc le cas s'il faut étudier le mode de
propagation normal d'un son à travers un gaz, un liquide ou un
solide, et même sa réflexion sur un écran ou sa réfraction à
travers un médium d'indice différent.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Et
c'est encore le cas en ce qui concerne les ondes stationnaires de
l'électron et de la matière, qui
prélèvent de l'énergie aux ondes qui circulent dans l'éther. À
l'intérieur d'un électron ou d'un champ de force, il se produit une
émission d'ondes progressives additionnelles. Il faut donc
considérer que ces ondes sont le résultat de l'addition d'ondelettes
fictives qui ont pris naissance sur les ventres successifs, en
respectant la période de ces ventres.</p>
<p align="left"><b>Les ondulations de la lumière sont reproduites en opposition de phase. </b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">D'un
autre côté, la lumière est faite d'ondes
composites dont la fréquence fixe et très élevée correspond à
celle des électrons. Il s'agit d'ondes
composites pulsées sur une fréquence secondaire, ce qui explique
qu'on puisse obtenir aussi bien des rayons gamma que des ondes radio
kilométriques à partir des mêmes ondelettes à fréquence unique émises par les
électrons. On est donc en présence d'ondelettes <b><i>véritables</i></b>.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">C'est
donc le cas en particulier lorsque la lumière atteint un miroir, plus
exactement les électrons présents sur sa surface métallique et sur
une épaisseur inférieure à sa longueur d'onde.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
sait bien que la lumière exerce une pression de radiation, et il se
trouve qu'il existe deux sortes d'électrons : ils ont un spin. J'ai
montré qu'ils vibrent en opposition de phase, et l'action de la
lumière a pour effet de les aligner différemment sur le front de
ses ondes. Ils tendent à se répartir selon leur spin, de sorte que
leur structure tend à devenir équiphasée. Or on sait que le fait de
répartir de nombreux émetteurs sur un plan équiphasé a pour effet
de produire un rayonnement sur un même axe, de part et d'autre de ce
plan.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
aura vu à la page sur la lumière que son rayonnement ondule
transversalement de manière à permettre une polarisation. Les
électrons atteints par la lumière ont donc tendance à suivre les mêmes
ondulations et à les reproduire, mais celles-ci s'effectuent <b><i>en opposition de phase</i></b>
(sur l'axe d'origine) comparativement avec celles de la lumière
incidente. Cette opposition de phase s'explique par le fait que le
noyau de l'électron présente une <a href="phase.htm">inversion de
phase.</a></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Ainsi,
toutes les fois que la lumière atteint la matière, celle-ci réagit
en émettant de la nouvelle lumière, dont la période est en
opposition de phase. On verra plus loin que ce
détail fait toute la différence : il explique pourquoi la lumière réfléchie
(mais en réalité créée de toutes pièces) par un
miroir est en opposition de phase. Mais, et c'est là le point
important, il indique que la lumière traverse les objets sans
rencontrer la moindre opposition. Malgré les apparences, <b><i>elle
n'est pas réfléchie</i></b>. Si elle devient invisible derrière le
miroir de manière à produire une ombre, c'est parce que les nouvelles
ondulations sont en opposition de
phase et qu'elles provoquent des interférences destructives.</p>
<p align="left"><b>La réflexion.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">En
plus du mode de propagation normal des ondes progressives de la
lumière, qu'elles soient planes, sphériques et même stationnaires, Huygens a pu expliquer tout
particulièrement la réflexion et la réfraction. Mais il n'avait pas
conscience que ce n'était vrai que dans le cas du son.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">L'animation
suivante montre comment le son est réfléchi sur un écran plat :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<img border="0" src="images/huygens04.gif" width="189" height="233"></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">La réflexion d'une onde sonore sur un
écran incliné de 45°.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Des ondelettes fictives produisent un front d'ondes réfléchi dont l'angle varie selon l'angle
d'inclinaison de l'écran.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Noter que les ondelettes
traversent l'écran, ce qui donne à penser que l'onde incidente devrait faire
de même.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Il est donc nécessaire
de postuler que les ondelettes sont interceptées par l'écran, ce qui va de soi
dans le cas du son.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">On a vu que la lumière,
au contraire, n'est jamais interceptée par la matière.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">C'est pourquoi ce deuxième front,
étant en opposition de phase, provoque la formation d'une ombre par interférences destructives.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Huygens
parle des points atteints en même temps par l'onde, mais on
remarque ici que les ondelettes naissent à des instants différents
sans problème. Il
faudra donc biffer ces mots de la formulation révisée du principe de
Huygens, mais cela nous obligera à préciser qu'il faut tenir compte
de la <b><i>différence de marche</i></b>. Le principe de Fresnel de
son côté ne
le laisse entendre qu'à mots couverts. En effet, chacune de ces
ondelettes est une onde sinusoïdale à part entière : elle présente
une rotation de phase selon la distance entre son point de départ et
l'endroit qu'elle atteint, plus exactement selon le temps qu'elle met
à parcourir cette distance.</p>
<p align="left"><b>La réfraction du son.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">L'animation
ci-dessous avait été faite pour illustrer la réfraction de la
lumière lorsqu'elle pénètre dans le verre. Mais on a vu qu'une
telle réfraction s'explique autrement dans le cas de la lumière.
Elle montre donc plutôt le comportement du son, mais il faut se
rappeler que la vitesse du son est plus rapide dans le verre que dans
l'air. La partie supérieure montrée en blanc devrait donc
représenter le verre et la partie inférieure, l'air. </p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> <img border="0" src="images/huygens05.gif" width="201" height="201"></font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">La réfraction du son s'il passe
du verre à l'air.</font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Il se produit une faible réflexion</font><font size="4" face="Times New Roman">
selon le "facteur
d'inclinaison" de Kirchhoff.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">C'est que les ondelettes se détruisent
davantage si elles sont créées sur une grande profondeur.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Quand le son pénètre
dans l'air, l'angle du nouveau front d'ondes est modifié car la vitesse des
ondelettes est réduite.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p align="left"><b>Les ondelettes négatives.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Selon
Huygens, l'onde principale se régénère continuellement comme si
elle émettait constamment de nouvelles ondelettes. Malheureusement,
la plupart des représentations qu'on a faites de ce phénomène ne
montrent que des ondelettes qui prennent naissance sur un seul plan,
aux endroits où la période de l'onde principale est à zéro.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify"> Cela
ne montre pas très bien ce qui se passe à l'arrière
de l'onde. Certains en ont déduit à tort que le principe de Huygens
n'indique pas pourquoi l'onde ne se propage pas simultanément vers
l'arrière.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify"> Or
on peut multiplier les endroits où les ondelettes prennent naissance,
ce qui permet de démontrer que l'onde principale n'a qu'un seul sens.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">De
plus, puisque les ondelettes sont des ondes à part entière, elles
présentent une amplitude négative à chaque demi-période. Il est
souvent utile d'en tenir compte pour préciser leur évolution. Le
diagramme ci-dessous montre l'onde principale en blanc là où
l'amplitude est au maximum, et en noir là où elle atteint le minimum
du côté négatif :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> <img border="0" src="images/huygens06.gif" width="189" height="189"></font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> Les ondes progressives ne se
propagent que dans un sens.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Les ondelettes positives
représentées en blanc et négatives, en noir, restent bien séparées vers
l'avant.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Mais elles provoquent
des interférences destructives vers l'arrière : leur effet est annulé.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"><b>LES ONDELETTES ÉMISES PAR LES
ÉLECTRONS SONT EN OPPOSITION DE PHASE</b></font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">C'est
un fait bien établi : la lumière réfléchie par un miroir est en
opposition de phase. Il faut convenir que même le principe de Huygens
tel que reformulé par Augustin Fresnel ne rend pas compte de ce fait.
Il vaut mieux reformuler plutôt le principe de Huygens, de manière
à préciser que la lumière incidente force les électrons à
émettre de la nouvelle lumière. Les ondulations transversales de
celle-ci sont en opposition de phase comparativement à celles de l'onde
incidente.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">D'une
part, cela permet de montrer que la lumière réfléchie par un miroir
est en opposition de phase.
</font> <font face="Times New Roman" size="4">Mais
d'autre part, il devient clair que même les ondelettes qui traversent
le miroir sont également en opposition de phase. De plus, nous avons
vu plus haut que la lumière incidente traverse le miroir sans
rencontrer la moindre opposition. Dans ces conditions, les deux se superposent
et cela produit des
interférences destructives, c'est à dire <b><i>une ombre</i></b> derrière
le miroir : </p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<img border="0" src="images/huygens07.gif" width="189" height="189"></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Le principe de Huygens reformulé
montre que le miroir atteint par la lumière incidente émet d'autre
lumière en opposition de
phase.</font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Cela permet du même coup de
démontrer que le miroir produit une ombre derrière lui.</font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Croyez-le ou non, la lumière
d'origine traverse le miroir sans rencontrer la moindre opposition.</font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Mais son effet est annulé à
cause de la présence de la nouvelle lumière, qui est en opposition de phase.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Nous
savons depuis longtemps que la matière est faite de vide à toutes
fins pratiques, tellement la taille des particules qu'elle contient
est faible. En réalité ses ondes stationnaires occupent un espace
considérable, mais elles sont tout aussi incapables d'intercepter
d'autres ondes. D'autre part, il est trop facile de justifier la lumière
par des photons et des champs électromagnétiques sans préciser davantage de quoi il
s'agit. Admettons-le, personne n'a jamais vraiment expliqué la lumière, sauf
Descartes et Huygens. Ces derniers ont vu juste : il s'agit bel et
bien d'ondes, et la matière qui est elle aussi faite d'ondes est incapable de
les intercepter. C'est pourquoi la présente explication par des ondelettes
de Huygens véritables devient la seule qui soit
acceptable.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
sait que Gustav
R. Kirchhoff a étudié le principe de Huygens. J'ose affirmer que depuis que les ordinateurs
existent, tous ses calculs sont
dépassés : il suffit d'écrire un programme qui additionne l'amplitude d'un grand nombre
d'ondelettes et qui affiche les résultats en différents tons de gris
pour obtenir à coup sûr des
résultats identiques à ce que l'expérience révèle. On
verra plus loin que cette méthode est élémentaire.</p>
<p align="left"><b>Les ondes stationnaires.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">L'animation
suivante montre comment les ondelettes de Huygens fictives évoluent à travers
les ondes stationnaires :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<img border="0" src="images/huygens08.gif" width="201" height="201"></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> Les ondelettes de Huygens
expliquent aussi les ondes stationnaires.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Mais cette
représentation n'est pas très convaincante.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Heureusement,
l'ordinateur peut faire beaucoup mieux.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Cette animation apparaît quelque peu obscure même si
les ondelettes produisent des résultats corrects. Le problème, c'est
que ce procédé est très imparfait : il ne montre que les phases
positives et négatives des ondelettes sous la forme de cercles blancs
ou noirs. Il ne montre donc pas les variations d'amplitude correctes
de l'onde résultante.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Or
l'ordinateur peut calculer avec une précision remarquable le total des ondelettes selon leur
période et leur amplitude, ce qui produit des résultats stupéfiants. C'est ce que nous allons
voir maintenant.</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"><b>COMMENT INTÉGRER LES
ONDELETTES SUR ORDINATEUR. </b></font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Généralement,
on ne fait appel au principe de Huygens que pour expliquer quelques phénomènes
ondulatoires comme la réflexion et la réfraction. Pourtant, pour peu
qu'on y réfléchisse, on se
rend vite compte que l'idée de faire intervenir ces fameuses
ondelettes est géniale. Je le répète : on peut de cette manière évaluer
la plupart des phénomènes ondulatoires.</p>
<p align="left"><b>Les échantillons.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Selon
Huygens, tous les points atteints pas l'onde sont les centres
d'ondelettes. En principe, le nombre de ces points est infini. Mais en pratique, comme on l'a vu plus
haut, un nombre relativement grand d'ondelettes suffit : ce seront des
échantillons.
C'est la loi des grands nombres, une règle de base des
statistiques, qui fait en sorte qu'au delà d'un certain point, on
atteint la quasi-certitude. </p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">L'expérience
montre que quelques centaines de points seulement répartis
uniformément sur une calotte sphérique circulaire produisent le diagramme
classique de la tache d'Airy sans problème. L'ordinateur étant très
rapide, il est facile de répéter le processus avec de plus en plus
d'échantillons. Il suffit de repérer le nombre de points au-delà
duquel il ne se produit plus aucun changement pour disposer par la
suite d'un programme très efficace qu'on pourra adapter à toutes
sortes de situations.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Il
s'agit à toutes fins pratiques d'un calcul intégral, mais sans les
complications usuelles. L'ordinateur effectue la sommation de toutes les
ondelettes pour un point donné de l'espace à la vitesse de
l'éclair. Il existe d'ailleurs des moyens d'accélérer encore les
temps de calcul, par exemple en évaluant des courbes équiphasées
plutôt que des
points, ou en utilisant un langage de programmation évolué, sans oublier les ressources graphiques fantastiques et
la mémoire stupéfiante des ordinateurs actuels.</p>
<p align="left"><b>Le calcul des ondelettes.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Afin
que vous puissiez vérifier par vous-même que les conclusions de
cette étude sont tout à fait raisonnables, je vous propose
d'examiner la structure des programmes que j'utilise pour évaluer ces
ondelettes. Soyez sans crainte : ces programmes sont élémentaires.
N'importe quel étudiant capable d'écrire un programme d'ordinateur
peut les comprendre. </p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Il
s'agit des programmes qui ont été utilisés pour produire les diagrammes montrés
plus bas. Je vous suggère cependant de
procéder par étapes pour mieux assimiler la procédure. Vous pouvez cliquer sur chacun des diagrammes pour n'obtenir que le
programme concerné. </p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Ces
programmes sont rédigés en Quick Basic (le programme QB.EXE est disponible avec les versions anciennes de Windows) et ils ne
fonctionnent qu'avec les ordinateurs de type IBM : ils sont donc
incompatibles avec Macintosh. Le fichier ZIP contient le code source, la version
exécutable et un exemplaire des images que le programme produit.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Je
présume que la plupart de ceux qui savent programmer un ordinateur les comprendront
sans peine. Ils devraient idéalement les traduire en C++. De
toutes façons, on ne maîtrise bien que les programmes qu'on a
soi-même écrits.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">La
première étape consiste à ne calculer qu'une seule ondelette :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><a href="dossiers/huygens09.zip"><img border="0" src="images/huygens09.gif" width="401" height="272"></a></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> Une ondelette de Huygens.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Selon Huygens, les ondelettes
naissent sur le front de l'onde principale et elles sont en phase avec
elle. </font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Il faut aussi tenir
compte de l'affaiblissement : l'amplitude est inversement proportionnelle à la
distance.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">L'énergie valant le
carré de l'amplitude selon Fresnel, elle faiblit donc selon le carré de la
distance.</font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="20" cellspacing="6" width="50%">
<tr>
<td>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Cliquez sur l'image pour
télécharger le programme qui a été utilisé pour réaliser cette animation.</font></p>
</td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">La
période
d'une onde pour un point donné de l'espace dépend de la différence de marche comparativement à un <b><i>multiple entier</i></b>
de la longueur d'onde. Il s'agit de convertir la distance en longueurs d'onde. En optique, l'expérience montre
qu'il faut tout évaluer en millimètres parce que les distances se
situent généralement entre un millimètre et un mètre, alors que la
longueur d'onde de la lumière verte, que l'œil voit le mieux et qui
est universellement acceptée comme standard, vaut 0,00055 mm.
</font> <font face="Times New Roman" size="4">
Le millimètre constitue donc une moyenne très pratique.
</font></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify"><font face="Times New Roman" size="4">Toutefois,
dans un premier temps, il sera préférable d'évaluer les distances
en pixels. C'est qu'il s'agira d'afficher les résultats sur l'écran
de l'ordinateur, les commandes graphiques étant conçues à
cette fin.</p>
<p align="left"><b>1 - Calculer la différence de marche.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Il
est évident que si le pixel à évaluer se situe à une demi-longueur
d'onde du point d'origine d'une ondelette, sa période sera en retard d'une
demi-période sur celle de ce point d'origine. Elle dépend en
réalité du délai écoulé. Mais il en sera de même pour
n'importe quel multiple entier de la longueur d'onde plus une
demi-onde supplémentaire. En conséquence, il s'agit dans un premier
temps de calculer la distance entre le point à évaluer et le centre
de l'ondelette, puis de convertir cette distance en longueurs d'ondes.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Supposons
que les coordonnées du point d'origine de l'ondelette sont : x
= 200 ; y = 300.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
suppose aussi que la longueur d'onde est de 40 pixels : lambda = 40</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Le
point à évaluer se situe en x ' = 300 ; y ' = 150.</p>
<p align="center">Distance sur l'axe x : 300 <span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span> 200 =
100 Distance sur l'axe y
: 150 <span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span> 300 = <span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span>150</p>
<p align="center">Distance réelle selon Pythagore : ( (100 * 100) + (<span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span>150 * <span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span>150) )<sup> (1
/ 2)</sup> = 180 pixels.</p>
<p align="center">Distance exprimée en longueurs d'onde : 180 / 40 =
4,5</p>
<p align="center">variableVirguleFlottante = 4,5</p>
<p align="center">variableNombreEntier = 4</p>
<p align="center">differenceDeMarche = variableVirguleFlottante <span lang="FR-CA" style="font-size:12.0pt;font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-ansi-language:
FR-CA;mso-fareast-language:FR;mso-bidi-language:AR-SA">–</span>
variableNombreEntier = 0,5</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Pour
éviter « l'effet papillon », il vaut mieux utiliser
systématiquement les variables
de type virgule flottante à double précision. En effet, des milliers d'imprécisions
négligeables qui s'additionnent peuvent éventuellement (mais
rarement) conduire à une seule imprécision catastrophique.</p>
<p align="left"><b>2 - Calculer la période.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">La
différence de marche étant en longueurs d'onde, on peut ensuite
établir la période de l'ondelette en la comparant à : 2 * pi.</p>
<p align="center">phase = differenceDeMarche * 2 * pi </p>
<p align="center">on a donc ici : phase = 0,5 * 2 * pi
= 3,14159</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Je
présume que vous savez que le chiffre pi correspond à : pi
= 4 * arc tan (1).
</font> <font face="Times New Roman" size="4">Les angles étant
exprimés en radians, 360° correspond à 2 pi, et donc 180° =
3,14159 radians correspond à l'opposition de phase.</p>
<p align="left"><b>3 - Afficher l'onde.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Le
sinus de la période correspond à la phase et son cosinus, à la
quadrature. Personnellement, je préfère afficher l'onde selon le
cosinus de la période. C'est que je montre très souvent des ondes
stationnaires, qui ne sont pas visibles à la période 0 si c'est le sinus
qu'on utilise. Il s'agit de convertir la période en différents
niveaux de gris :</p>
<p align="center">couleur = cosinus (phase) + 1</p>
<p align="center">couleur = COS (3,14159) + 1</p>
<p align="center">couleur = <span lang="FR-CA" style="FONT-FAMILY: Times New Roman; mso-fareast-font-family: Times New Roman; mso-ansi-language: FR-CA; mso-fareast-language: FR; mso-bidi-language: AR-SA">–</span><span style="font-family: Times New Roman; mso-fareast-font-family: Times New Roman; mso-ansi-language: FR-CA; mso-fareast-language: FR; mso-bidi-language: AR-SA" lang="FR-CA">
</span>1 + 1</p>
<p align="center">couleur = 0 (noir)</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">On
obtient des chiffres variant de 0 à 2 qu'il faut surmultiplier pour
couvrir les tons de gris disponibles. Dans l'ancien mode graphique VGA
(640 x 480 pixels), il n'existe que 16 couleurs RVB qu'on peut
heureusement convertir
en 16 tons de gris comme le montrent mes programmes. C'est M. Philippe
Delmotte qui m'a appris ça (ce n'était pas dans les 710 pages de mon
grand livre sur le Quick Basic). On peut même les inverser de manière à afficher
le texte en noir sur blanc.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Parce
que ces 16 couleurs peuvent être indexées dans le format GIF, on obtient des
images beaucoup plus économes en octets que dans le format JPEG. C'était
le cas de la plupart de mes images anciennes, et j'utilisais une astuce qui permet de diffuser les
valeurs sur 4 pixels sans perte de résolution de manière à obtenir
finalement 64 tons de gris.</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">Bien
sûr, tout ça est de l'histoire ancienne. Les ordinateurs
d'aujourd'hui sont bien plus rapides qu'en 1995 et le langage de
programmation FreeBasic est infiniment plus efficace que le Quick
Basic. Mais voilà, c'était ainsi qu'on procédait en 1995 et j'en
suis très fier étant donné les résultats que j'ai obtenus en
optique à cette époque, alors que je travaillais sur mon ouvrage
"Optique des miroirs". J'ai ainsi pu analyser un grand
nombre de configurations d'appareils optiques à miroir, dont certains
munis de lentilles ou de correcteurs en verre optique. Plusieurs de
ces appareils sont des inventions originales.</p>
<p align="left"><b>4 - Afficher l'amplitude s'il y a deux ondelettes
ou plus.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify">L'ordinateur
a ceci de fantastique qu'il peut traiter mille ondelettes à peu près
aussi rapidement que s'il y en a deux seulement. Il suffit d'insérer
les équations montrées plus haut dans une boucle pour en
traiter autant que c'est nécessaire. Le calcul se résume à une
simple addition :</p>
<p align="center">amplitudeSinus = amplitudeSinus + SIN (phase)</p>
<p align="center">amplitudeCosinus = amplitudeCosinus + COS (phase)</p>
<p class="MsoTitle" style="text-indent: 35.4pt; text-align: justify">Le
sinus et le cosinus étant associés aux côtés d'un triangle rectangle, ils
permettent d'évaluer l'hypoténuse selon le théorème de Pythagore.
Mais ils permettent de la même manière d'évaluer l'énergie et
l'amplitude finales en un point donné de l'espace :</p>
<p align="center">Energie = ( (amplitudeSinus * amplitudeSinus) + (amplitudeCosinus
* amplitudeCosinus) )</p>
<p align="center">Amplitude = Sqr(Energie)</p>
<p class="MsoTitle" style="TEXT-INDENT: 35.4pt; TEXT-ALIGN: justify"> On
conviendra que la sommation des ondelettes est élémentaire. C'est ainsi
qu'on peut finalement montrer comment deux ou plusieurs ondelettes se
composent :</p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><a href="dossiers/huygens10.zip"><img border="0" src="images/huygens10.gif" width="401" height="301"></a></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">La composition de deux ondelettes.</font></p>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Il suffit d'additionner
l'amplitude des deux ondes : rien de plus.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Si elles sont positives et
négatives, leur total est réduit par interférences
destructives.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">On retrouve les ellipses
concentriques et les hyperboles habituelles.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><a href="dossiers/huygens11.zip"><img border="0" src="images/huygens11.gif" width="401" height="301"></a></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Ce diagramme ne montre pas les
ondes, mais seulement leur énergie</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Les zones où l'énergie
est nulle sont affichées en noir.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><a href="dossiers/huygens12.zip"><img border="0" src="images/huygens12.gif" width="401" height="301"></a></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">On peut même superposer les deux
images, ce
qui produit un diagramme composite très révélateur.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p align="left"><b>La tache d'Airy.</b></p>
<p class="MsoTitle" style="text-indent: 35.4pt; text-align: justify">En
procédant exactement de
la même manière, on peut répartir <b><i> uniformément</i></b> un grand
nombre de sources d'ondelettes sur la surface d'un cercle. Il existe
plusieurs méthodes, mais voici celle que j'affectionne le plus. Le
fait que les points où se situe leur origine soient répartis selon
des couronnes concentriques permet d'éviter de refaire une partie du
calcul à chaque point, et donc d'accélérer ce calcul : </p>
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman"> <img border="0" src="images/points.gif" width="487" height="480"></font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Les centres des
ondelettes sont répartis uniformément sur la surface d'un cercle.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Comme l'indique Huygens,
chaque point est atteint simultanément par l'onde principale, si elle est
plane.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Toutes ces ondelettes
ajoutent ou retranchent leur amplitude selon qu'elles sont en phase ou en
opposition.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Attention : il est
essentiel de calculer la différence de marche dans un espace en trois
dimensions.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">L'autre moitié de cet
espace étant symétrique, il suffit en pratique de n'en évaluer que la
moitié.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">Les ondelettes qui en
résultent produisent le diagramme suivant :</font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><img border="0" src="images/balmer05a.jpg" width="800" height="150"></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center">
<font size="4" face="Times New Roman">Le diagramme d'amplitude du faisceau d'un
laser ou d'un sténopé (la caméra à trou).</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">C'est l'exemple typique
de ce qu'il est convenu d'appeler la diffraction de Fresnel.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">On remarque que la tache
d'Airy définitive (la diffraction de Fraunhofer) ne commence à se former qu'à l'extrême droite.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">C'est ce qui explique
que le sténopé ne peut produire une image acceptable qu'au delà d'une
certaine distance.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<table cellSpacing="0" cellPadding="0" width="1000" border="0">
<tbody>
<tr>
<td width="100%"><font face="Times New Roman" size="4">
<p class="MsoTitle" style="text-indent: 35.4pt; text-align: justify">Le
diagramme montré ci-dessus est plus exactement celui du faisceau
lumineux qu'on obtient en dirigeant le faisceau d'un laser très
éloigné à travers une petite ouverture circulaire d'environ 5 mm percée dans un
écran opaque. C'est donc aussi le faisceau lumineux qu'on obtient en
tentant de photographier ce laser éloigné (qui devient une étoile artificielle) à l'aide d'un sténopé.</p>
<p class="MsoTitle" style="text-indent: 35.4pt; text-align: justify">Si
des points équiphasés sont répartis sur la surface d'une calotte
sphérique (et non pas d'un disque plat), on obtient plutôt une tache
d'Airy parfaite au centre de courbure
de la calotte : c'est ainsi que l'image se forme au foyer d'une lentille ou d'un
télescope à miroir :
</font></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> </font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="4" cellpadding="0" cellspacing="6">
<tr>
<td>
<p align="center"><img border="0" src="images/airy_f2.gif" width="640" height="215"></td>
</tr>
</table>
</center>
</div>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman"> Cette vue longitudinale
de la tache d'Airy à ƒ / 2 comprend l'axe optique.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">On constate que le tache d'Airy
est en fait la section d'un ellipsoïde allongé, ce qu'on mentionne rarement.</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">D est le diamètre de
l'objectif, F est la focale, lambda est la longueur d'onde, et R est le rayon de
la tache d'Airy :</font></p>
<p align="center"><font size="4" face="Times New Roman">R = 1,22 *
lambda</font><font size="4" face="Times New Roman"> * F / D</font></p>